Theorem reslameq ≪ | index | src | ≫ 

theorem reslameq (A: set) {x: nat} (a b: nat x):
  $ A. x (x e. A -> a = b) -> (\ x, a) |` A == (\ x, b) |` A $;
StepHypRefExpression
1 elres 
p e. (\ x, a) |` A <-> p e. \ x, a /\ fst p e. A
2 elres 
p e. (\ x, b) |` A <-> p e. \ x, b /\ fst p e. A
3 aneq1a 
(fst p e. A -> (p e. \ x, a <-> p e. \ x, b)) -> (p e. \ x, a /\ fst p e. A <-> p e. \ x, b /\ fst p e. A)
4 ellam 
p e. \ x, a <-> E. x p = x, a
5 ellam 
p e. \ x, b <-> E. x p = x, b
6 exeq 
A. x (p = x, a <-> p = x, b) -> (E. x p = x, a <-> E. x p = x, b)
7 fstpr 
fst (x, a) = x
8 anr 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ p = x, a -> p = x, a
9 8 fsteqd 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ p = x, a -> fst p = fst (x, a)
10 7, 9 syl6eq 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ p = x, a -> fst p = x
11 fstpr 
fst (x, b) = x
12 anr 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ p = x, b -> p = x, b
13 12 fsteqd 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ p = x, b -> fst p = fst (x, b)
14 11, 13 syl6eq 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ p = x, b -> fst p = x
15 anr 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> fst p = x
16 15 eleq1d 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> (fst p e. A <-> x e. A)
17 anll 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> fst p e. A
18 16, 17 mpbid 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> x e. A
19 anlr 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> x e. A -> a = b
20 18, 19 mpd 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> a = b
21 20 preq2d 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> x, a = x, b
22 21 eqeq2d 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) /\ fst p = x -> (p = x, a <-> p = x, b)
23 10, 14, 22 rbida 
fst p e. A /\ (x e. A -> a = b) -> (p = x, a <-> p = x, b)
24 23 exp 
fst p e. A -> (x e. A -> a = b) -> (p = x, a <-> p = x, b)
25 24 alimd 
fst p e. A -> A. x (x e. A -> a = b) -> A. x (p = x, a <-> p = x, b)
26 25 impcom 
A. x (x e. A -> a = b) /\ fst p e. A -> A. x (p = x, a <-> p = x, b)
27 6, 26 syl 
A. x (x e. A -> a = b) /\ fst p e. A -> (E. x p = x, a <-> E. x p = x, b)
28 4, 5, 27 bitr4g 
A. x (x e. A -> a = b) /\ fst p e. A -> (p e. \ x, a <-> p e. \ x, b)
29 3, 28 syla 
A. x (x e. A -> a = b) -> (p e. \ x, a /\ fst p e. A <-> p e. \ x, b /\ fst p e. A)
30 1, 2, 29 bitr4g 
A. x (x e. A -> a = b) -> (p e. (\ x, a) |` A <-> p e. (\ x, b) |` A)
31 30 eqrd 
A. x (x e. A -> a = b) -> (\ x, a) |` A == (\ x, b) |` A

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)