theorem elres (A B: set) (a: nat): $ a e. A |` B <-> a e. A /\ fst a e. B $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr |
(a e. A |` B <-> a e. A /\ a e. Xp B _V) -> (a e. A /\ a e. Xp B _V <-> a e. A /\ fst a e. B) -> (a e. A |` B <-> a e. A /\ fst a e. B) |
| 2 |
|
elin |
a e. A i^i Xp B _V <-> a e. A /\ a e. Xp B _V |
| 3 |
2 |
conv res |
a e. A |` B <-> a e. A /\ a e. Xp B _V |
| 4 |
1, 3 |
ax_mp |
(a e. A /\ a e. Xp B _V <-> a e. A /\ fst a e. B) -> (a e. A |` B <-> a e. A /\ fst a e. B) |
| 5 |
|
bitr |
(a e. Xp B _V <-> fst a e. B /\ snd a e. _V) -> (fst a e. B /\ snd a e. _V <-> fst a e. B) -> (a e. Xp B _V <-> fst a e. B) |
| 6 |
|
elxp |
a e. Xp B _V <-> fst a e. B /\ snd a e. _V |
| 7 |
5, 6 |
ax_mp |
(fst a e. B /\ snd a e. _V <-> fst a e. B) -> (a e. Xp B _V <-> fst a e. B) |
| 8 |
|
bian2 |
snd a e. _V -> (fst a e. B /\ snd a e. _V <-> fst a e. B) |
| 9 |
|
elv |
snd a e. _V |
| 10 |
8, 9 |
ax_mp |
fst a e. B /\ snd a e. _V <-> fst a e. B |
| 11 |
7, 10 |
ax_mp |
a e. Xp B _V <-> fst a e. B |
| 12 |
11 |
aneq2i |
a e. A /\ a e. Xp B _V <-> a e. A /\ fst a e. B |
| 13 |
4, 12 |
ax_mp |
a e. A |` B <-> a e. A /\ fst a e. B |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)