theorem prelres (A B: set) (a b: nat):
$ a, b e. A |` B <-> a, b e. A /\ a e. B $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr |
(a, b e. A |` B <-> a, b e. A /\ fst (a, b) e. B) -> (a, b e. A /\ fst (a, b) e. B <-> a, b e. A /\ a e. B) -> (a, b e. A |` B <-> a, b e. A /\ a e. B) |
| 2 |
|
elres |
a, b e. A |` B <-> a, b e. A /\ fst (a, b) e. B |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(a, b e. A /\ fst (a, b) e. B <-> a, b e. A /\ a e. B) -> (a, b e. A |` B <-> a, b e. A /\ a e. B) |
| 4 |
|
eleq1 |
fst (a, b) = a -> (fst (a, b) e. B <-> a e. B) |
| 5 |
|
fstpr |
fst (a, b) = a |
| 6 |
4, 5 |
ax_mp |
fst (a, b) e. B <-> a e. B |
| 7 |
6 |
aneq2i |
a, b e. A /\ fst (a, b) e. B <-> a, b e. A /\ a e. B |
| 8 |
3, 7 |
ax_mp |
a, b e. A |` B <-> a, b e. A /\ a e. B |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)