Theorem ellamima ≪ | index | src | ≫ 

theorem ellamima (A: set) (a: nat) {x: nat} (v: nat x):
  $ a e. (\ x, v) '' A <-> E. x (x e. A /\ a = v) $;
StepHypRefExpression
1 bitr 
(a e. (\ x, v) '' A <-> E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v)) ->
  (E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. x (x e. A /\ a = v)) ->
  (a e. (\ x, v) '' A <-> E. x (x e. A /\ a = v))
2 elima 
a e. (\ x, v) '' A <-> E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v)
3 1, 2 ax_mp 
(E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. x (x e. A /\ a = v)) -> (a e. (\ x, v) '' A <-> E. x (x e. A /\ a = v))
4 bitr4 
(E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. y (y e. A /\ E. x (y = x /\ a = v))) ->
  (E. x (x e. A /\ a = v) <-> E. y (y e. A /\ E. x (y = x /\ a = v))) ->
  (E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. x (x e. A /\ a = v))
5 bitr 
(y, a e. \ x, v <-> E. x y, a = x, v) -> (E. x y, a = x, v <-> E. x (y = x /\ a = v)) -> (y, a e. \ x, v <-> E. x (y = x /\ a = v))
6 ellam 
y, a e. \ x, v <-> E. x y, a = x, v
7 5, 6 ax_mp 
(E. x y, a = x, v <-> E. x (y = x /\ a = v)) -> (y, a e. \ x, v <-> E. x (y = x /\ a = v))
8 prth 
y, a = x, v <-> y = x /\ a = v
9 8 exeqi 
E. x y, a = x, v <-> E. x (y = x /\ a = v)
10 7, 9 ax_mp 
y, a e. \ x, v <-> E. x (y = x /\ a = v)
11 10 rexeqi 
E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. y (y e. A /\ E. x (y = x /\ a = v))
12 4, 11 ax_mp 
(E. x (x e. A /\ a = v) <-> E. y (y e. A /\ E. x (y = x /\ a = v))) -> (E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. x (x e. A /\ a = v))
13 bitr3 
(E. y (y = x /\ (y e. A /\ a = v)) <-> x e. A /\ a = v) ->
  (E. y (y = x /\ (y e. A /\ a = v)) <-> E. y (y e. A /\ (y = x /\ a = v))) ->
  (x e. A /\ a = v <-> E. y (y e. A /\ (y = x /\ a = v)))
14 eleq1 
y = x -> (y e. A <-> x e. A)
15 14 aneq1d 
y = x -> (y e. A /\ a = v <-> x e. A /\ a = v)
16 15 exeqe 
E. y (y = x /\ (y e. A /\ a = v)) <-> x e. A /\ a = v
17 13, 16 ax_mp 
(E. y (y = x /\ (y e. A /\ a = v)) <-> E. y (y e. A /\ (y = x /\ a = v))) -> (x e. A /\ a = v <-> E. y (y e. A /\ (y = x /\ a = v)))
18 anlass 
y = x /\ (y e. A /\ a = v) <-> y e. A /\ (y = x /\ a = v)
19 18 exeqi 
E. y (y = x /\ (y e. A /\ a = v)) <-> E. y (y e. A /\ (y = x /\ a = v))
20 17, 19 ax_mp 
x e. A /\ a = v <-> E. y (y e. A /\ (y = x /\ a = v))
21 20 birexexi 
E. x (x e. A /\ a = v) <-> E. y (y e. A /\ E. x (y = x /\ a = v))
22 12, 21 ax_mp 
E. y (y e. A /\ y, a e. \ x, v) <-> E. x (x e. A /\ a = v)
23 3, 22 ax_mp 
a e. (\ x, v) '' A <-> E. x (x e. A /\ a = v)

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)