Theorem funcssxp ≪ | index | src | ≫

theorem funcssxp (A B F: set): $ func F A B -> F C_ Xp A B $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp	a1 e. Xp A B <-> fst a1 e. A /\ snd a1 e. B
2		anllr	isfun F /\ Dom F == A /\ Ran F C_ B /\ a1 e. F -> Dom F == A
3	2	conv func	func F A B /\ a1 e. F -> Dom F == A
4	3	eleq2d	func F A B /\ a1 e. F -> (fst a1 e. Dom F <-> fst a1 e. A)
5		fsteldm	a1 e. F -> fst a1 e. Dom F
6	5	anwr	func F A B /\ a1 e. F -> fst a1 e. Dom F
7	4, 6	mpbid	func F A B /\ a1 e. F -> fst a1 e. A
8		anlr	isfun F /\ Dom F == A /\ Ran F C_ B /\ a1 e. F -> Ran F C_ B
9	8	conv func	func F A B /\ a1 e. F -> Ran F C_ B
10		sndelrn	a1 e. F -> snd a1 e. Ran F
11	10	anwr	func F A B /\ a1 e. F -> snd a1 e. Ran F
12	9, 11	sseld	func F A B /\ a1 e. F -> snd a1 e. B
13	7, 12	iand	func F A B /\ a1 e. F -> fst a1 e. A /\ snd a1 e. B
14	1, 13	sylibr	func F A B /\ a1 e. F -> a1 e. Xp A B
15	14	ialda	func F A B -> A. a1 (a1 e. F -> a1 e. Xp A B)
16	15	conv subset	func F A B -> F C_ Xp A B

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)