Theorem funcssxp ≪ | index | src | ≫ 

theorem funcssxp (A B F: set): $ func F A B -> F C_ Xp A B $;
StepHypRefExpression
1 elxp 
a1 e. Xp A B <-> fst a1 e. A /\ snd a1 e. B
2 anllr 
isfun F /\ Dom F == A /\ Ran F C_ B /\ a1 e. F -> Dom F == A
3 2 conv func 
func F A B /\ a1 e. F -> Dom F == A
4 3 eleq2d 
func F A B /\ a1 e. F -> (fst a1 e. Dom F <-> fst a1 e. A)
5 fsteldm 
a1 e. F -> fst a1 e. Dom F
6 5 anwr 
func F A B /\ a1 e. F -> fst a1 e. Dom F
7 4, 6 mpbid 
func F A B /\ a1 e. F -> fst a1 e. A
8 anlr 
isfun F /\ Dom F == A /\ Ran F C_ B /\ a1 e. F -> Ran F C_ B
9 8 conv func 
func F A B /\ a1 e. F -> Ran F C_ B
10 sndelrn 
a1 e. F -> snd a1 e. Ran F
11 10 anwr 
func F A B /\ a1 e. F -> snd a1 e. Ran F
12 9, 11 sseld 
func F A B /\ a1 e. F -> snd a1 e. B
13 7, 12 iand 
func F A B /\ a1 e. F -> fst a1 e. A /\ snd a1 e. B
14 1, 13 sylibr 
func F A B /\ a1 e. F -> a1 e. Xp A B
15 14 ialda 
func F A B -> A. a1 (a1 e. F -> a1 e. Xp A B)
16 15 conv subset 
func F A B -> F C_ Xp A B

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)