Theorem rnfin ≪ | index | src | ≫

theorem rnfin (A: set): $ finite A -> finite (Ran A) $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn	a2 e. Ran A <-> E. a3 a3, a2 e. A
2		lelttr	a2 <= a3, a2 -> a3, a2 < a1 -> a2 < a1
3		leprid2	a2 <= a3, a2
4	2, 3	ax_mp	a3, a2 < a1 -> a2 < a1
5		eleq1	a4 = a3, a2 -> (a4 e. A <-> a3, a2 e. A)
6		lteq1	a4 = a3, a2 -> (a4 < a1 <-> a3, a2 < a1)
7	5, 6	imeqd	a4 = a3, a2 -> (a4 e. A -> a4 < a1 <-> a3, a2 e. A -> a3, a2 < a1)
8	7	eale	A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> a3, a2 e. A -> a3, a2 < a1
9	4, 8	syl6	A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> a3, a2 e. A -> a2 < a1
10	9	eexd	A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> E. a3 a3, a2 e. A -> a2 < a1
11	1, 10	syl5bi	A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> a2 e. Ran A -> a2 < a1
12	11	iald	A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> A. a2 (a2 e. Ran A -> a2 < a1)
13	12	eximi	E. a1 A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> E. a1 A. a2 (a2 e. Ran A -> a2 < a1)
14	13	conv finite	finite A -> finite (Ran A)

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)