theorem dmfin (A: set): $ finite A -> finite (Dom A) $;
Step | Hyp | Ref | Expression |
1 |
|
eldm |
a2 e. Dom A <-> E. a3 a2, a3 e. A |
2 |
|
lelttr |
a2 <= a2, a3 -> a2, a3 < a1 -> a2 < a1 |
3 |
|
leprid1 |
a2 <= a2, a3 |
4 |
2, 3 |
ax_mp |
a2, a3 < a1 -> a2 < a1 |
5 |
|
eleq1 |
a4 = a2, a3 -> (a4 e. A <-> a2, a3 e. A) |
6 |
|
lteq1 |
a4 = a2, a3 -> (a4 < a1 <-> a2, a3 < a1) |
7 |
5, 6 |
imeqd |
a4 = a2, a3 -> (a4 e. A -> a4 < a1 <-> a2, a3 e. A -> a2, a3 < a1) |
8 |
7 |
eale |
A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> a2, a3 e. A -> a2, a3 < a1 |
9 |
4, 8 |
syl6 |
A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> a2, a3 e. A -> a2 < a1 |
10 |
9 |
eexd |
A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> E. a3 a2, a3 e. A -> a2 < a1 |
11 |
1, 10 |
syl5bi |
A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> a2 e. Dom A -> a2 < a1 |
12 |
11 |
iald |
A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> A. a2 (a2 e. Dom A -> a2 < a1) |
13 |
12 |
eximi |
E. a1 A. a4 (a4 e. A -> a4 < a1) -> E. a1 A. a2 (a2 e. Dom A -> a2 < a1) |
14 |
13 |
conv finite |
finite A -> finite (Dom A) |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)