Theorem grecaux2S ≪ | index | src | ≫ 

theorem grecaux2S (F K: set) (k n x z: nat):
  $ grecaux2 z K F x (suc n) k =
    F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k) $;
StepHypRefExpression
1 eqtr 
grecaux2 z K F x (suc n) k = (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) n)
  ->
  (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) n) =
    F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k) ->
  grecaux2 z K F x (suc n) k = F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)
2 recnS 
recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) (suc n) =
  (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) n)
3 2 conv grecaux2 
grecaux2 z K F x (suc n) k = (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) n)
4 1, 3 ax_mp 
(\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) n) =
    F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k) ->
  grecaux2 z K F x (suc n) k = F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)
5 anl 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> a1 = n
6 5 suceqd 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> suc a1 = suc n
7 6 subeq2d 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> x - suc a1 = x - suc n
8 7 grecaux1eq4d 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> grecaux1 K x k (x - suc a1) = grecaux1 K x k (x - suc n)
9 anr 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> a2 = grecaux2 z K F x n k
10 8, 9 preqd 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> grecaux1 K x k (x - suc a1), a2 = grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k
11 5, 10 preqd 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2 = n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k
12 11 appeq2d 
a1 = n /\ a2 = grecaux2 z K F x n k -> F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2) = F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)
13 12 applamed 
a1 = n -> (\ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ grecaux2 z K F x n k = F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)
14 13 appslame 
(\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, grecaux2 z K F x n k) = F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)
15 14 conv grecaux2 
(\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) @ (n, recn z (\\ a1, \ a2, F @ (a1, grecaux1 K x k (x - suc a1), a2)) n) =
  F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)
16 4, 15 ax_mp 
grecaux2 z K F x (suc n) k = F @ (n, grecaux1 K x k (x - suc n), grecaux2 z K F x n k)

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)