theorem finuni (A: set): $ finite A -> finite (sUnion A) $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
eluni |
a2 e. sUnion A <-> E. a3 (a2 e. a3 /\ a3 e. A) |
| 2 |
|
eexb |
E. a3 (a2 e. a3 /\ a3 e. A) -> a2 < a1 <-> A. a3 (a2 e. a3 /\ a3 e. A -> a2 < a1) |
| 3 |
|
ancom |
a2 e. a3 /\ a3 e. A -> a3 e. A /\ a2 e. a3 |
| 4 |
|
impexp |
a3 e. A /\ a2 e. a3 -> a2 < a1 <-> a3 e. A -> a2 e. a3 -> a2 < a1 |
| 5 |
|
lttr |
a2 < a3 -> a3 < a1 -> a2 < a1 |
| 6 |
|
ellt |
a2 e. a3 -> a2 < a3 |
| 7 |
5, 6 |
syl |
a2 e. a3 -> a3 < a1 -> a2 < a1 |
| 8 |
7 |
com12 |
a3 < a1 -> a2 e. a3 -> a2 < a1 |
| 9 |
8 |
imim2i |
(a3 e. A -> a3 < a1) -> a3 e. A -> a2 e. a3 -> a2 < a1 |
| 10 |
4, 9 |
sylibr |
(a3 e. A -> a3 < a1) -> a3 e. A /\ a2 e. a3 -> a2 < a1 |
| 11 |
3, 10 |
syl5 |
(a3 e. A -> a3 < a1) -> a2 e. a3 /\ a3 e. A -> a2 < a1 |
| 12 |
11 |
alimi |
A. a3 (a3 e. A -> a3 < a1) -> A. a3 (a2 e. a3 /\ a3 e. A -> a2 < a1) |
| 13 |
2, 12 |
sylibr |
A. a3 (a3 e. A -> a3 < a1) -> E. a3 (a2 e. a3 /\ a3 e. A) -> a2 < a1 |
| 14 |
1, 13 |
syl5bi |
A. a3 (a3 e. A -> a3 < a1) -> a2 e. sUnion A -> a2 < a1 |
| 15 |
14 |
iald |
A. a3 (a3 e. A -> a3 < a1) -> A. a2 (a2 e. sUnion A -> a2 < a1) |
| 16 |
15 |
eximi |
E. a1 A. a3 (a3 e. A -> a3 < a1) -> E. a1 A. a2 (a2 e. sUnion A -> a2 < a1) |
| 17 |
16 |
conv finite |
finite A -> finite (sUnion A) |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)