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theorem indi (A B C: set): $ A i^i (B u. C) == A i^i B u. A i^i C $;
StepHypRefExpression
1 bitr4 
(x e. A i^i (B u. C) <-> x e. A /\ x e. B u. C) -> (x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B u. C) -> (x e. A i^i (B u. C) <-> x e. A i^i B u. A i^i C)
2 elin 
x e. A i^i (B u. C) <-> x e. A /\ x e. B u. C
3 1, 2 ax_mp 
(x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B u. C) -> (x e. A i^i (B u. C) <-> x e. A i^i B u. A i^i C)
4 bitr4 
(x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C) ->
  (x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C) ->
  (x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B u. C)
5 elun 
x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C
6 4, 5 ax_mp 
(x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C) -> (x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B u. C)
7 bitr4 
(x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C)) ->
  (x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C)) ->
  (x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C)
8 elun 
x e. B u. C <-> x e. B \/ x e. C
9 8 aneq2i 
x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C)
10 7, 9 ax_mp 
(x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C)) -> (x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C)
11 bitr4 
(x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C) ->
  (x e. A /\ (x e. B \/ x e. C) <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C) ->
  (x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C))
12 oreq 
(x e. A i^i B <-> x e. A /\ x e. B) -> (x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. C) -> (x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C)
13 elin 
x e. A i^i B <-> x e. A /\ x e. B
14 12, 13 ax_mp 
(x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. C) -> (x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C)
15 elin 
x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. C
16 14, 15 ax_mp 
x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C
17 11, 16 ax_mp 
(x e. A /\ (x e. B \/ x e. C) <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C) -> (x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C))
18 andi 
x e. A /\ (x e. B \/ x e. C) <-> x e. A /\ x e. B \/ x e. A /\ x e. C
19 17, 18 ax_mp 
x e. A i^i B \/ x e. A i^i C <-> x e. A /\ (x e. B \/ x e. C)
20 10, 19 ax_mp 
x e. A /\ x e. B u. C <-> x e. A i^i B \/ x e. A i^i C
21 6, 20 ax_mp 
x e. A i^i B u. A i^i C <-> x e. A /\ x e. B u. C
22 3, 21 ax_mp 
x e. A i^i (B u. C) <-> x e. A i^i B u. A i^i C
23 22 eqri 
A i^i (B u. C) == A i^i B u. A i^i C

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8)