theorem unass (A B C: set): $ A u. B u. C == A u. (B u. C) $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr4 |
(x e. A u. B u. C <-> x e. A u. B \/ x e. C) -> (x e. A u. (B u. C) <-> x e. A u. B \/ x e. C) -> (x e. A u. B u. C <-> x e. A u. (B u. C)) |
| 2 |
|
elun |
x e. A u. B u. C <-> x e. A u. B \/ x e. C |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(x e. A u. (B u. C) <-> x e. A u. B \/ x e. C) -> (x e. A u. B u. C <-> x e. A u. (B u. C)) |
| 4 |
|
bitr4 |
(x e. A u. (B u. C) <-> x e. A \/ x e. B u. C) -> (x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B u. C) -> (x e. A u. (B u. C) <-> x e. A u. B \/ x e. C) |
| 5 |
|
elun |
x e. A u. (B u. C) <-> x e. A \/ x e. B u. C |
| 6 |
4, 5 |
ax_mp |
(x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B u. C) -> (x e. A u. (B u. C) <-> x e. A u. B \/ x e. C) |
| 7 |
|
bitr4 |
(x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C) ->
(x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C) ->
(x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B u. C) |
| 8 |
|
elun |
x e. A u. B <-> x e. A \/ x e. B |
| 9 |
8 |
oreq1i |
x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C |
| 10 |
7, 9 |
ax_mp |
(x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C) -> (x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B u. C) |
| 11 |
|
bitr4 |
(x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ (x e. B \/ x e. C)) ->
(x e. A \/ x e. B \/ x e. C <-> x e. A \/ (x e. B \/ x e. C)) ->
(x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C) |
| 12 |
|
elun |
x e. B u. C <-> x e. B \/ x e. C |
| 13 |
12 |
oreq2i |
x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ (x e. B \/ x e. C) |
| 14 |
11, 13 |
ax_mp |
(x e. A \/ x e. B \/ x e. C <-> x e. A \/ (x e. B \/ x e. C)) -> (x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C) |
| 15 |
|
orass |
x e. A \/ x e. B \/ x e. C <-> x e. A \/ (x e. B \/ x e. C) |
| 16 |
14, 15 |
ax_mp |
x e. A \/ x e. B u. C <-> x e. A \/ x e. B \/ x e. C |
| 17 |
10, 16 |
ax_mp |
x e. A u. B \/ x e. C <-> x e. A \/ x e. B u. C |
| 18 |
6, 17 |
ax_mp |
x e. A u. (B u. C) <-> x e. A u. B \/ x e. C |
| 19 |
3, 18 |
ax_mp |
x e. A u. B u. C <-> x e. A u. (B u. C) |
| 20 |
19 |
eqri |
A u. B u. C == A u. (B u. C) |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8)