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theorem dmres (A F: set): $ Dom (F |` A) == Dom F i^i A $;
StepHypRefExpression
1 bitr 
(x e. Dom (F |` A) <-> E. y x, y e. F |` A) -> (E. y x, y e. F |` A <-> x e. Dom F i^i A) -> (x e. Dom (F |` A) <-> x e. Dom F i^i A)
2 eldm 
x e. Dom (F |` A) <-> E. y x, y e. F |` A
3 1, 2 ax_mp 
(E. y x, y e. F |` A <-> x e. Dom F i^i A) -> (x e. Dom (F |` A) <-> x e. Dom F i^i A)
4 bitr4 
(E. y x, y e. F |` A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)) -> (x e. Dom F i^i A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)) -> (E. y x, y e. F |` A <-> x e. Dom F i^i A)
5 prelres 
x, y e. F |` A <-> x, y e. F /\ x e. A
6 5 exeqi 
E. y x, y e. F |` A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)
7 4, 6 ax_mp 
(x e. Dom F i^i A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)) -> (E. y x, y e. F |` A <-> x e. Dom F i^i A)
8 bitr 
(x e. Dom F i^i A <-> x e. Dom F /\ x e. A) -> (x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)) -> (x e. Dom F i^i A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A))
9 elin 
x e. Dom F i^i A <-> x e. Dom F /\ x e. A
10 8, 9 ax_mp 
(x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)) -> (x e. Dom F i^i A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A))
11 bitr4 
(x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y x, y e. F /\ x e. A) ->
  (E. y (x, y e. F /\ x e. A) <-> E. y x, y e. F /\ x e. A) ->
  (x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A))
12 eldm 
x e. Dom F <-> E. y x, y e. F
13 12 aneq1i 
x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y x, y e. F /\ x e. A
14 11, 13 ax_mp 
(E. y (x, y e. F /\ x e. A) <-> E. y x, y e. F /\ x e. A) -> (x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A))
15 exan2 
E. y (x, y e. F /\ x e. A) <-> E. y x, y e. F /\ x e. A
16 14, 15 ax_mp 
x e. Dom F /\ x e. A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)
17 10, 16 ax_mp 
x e. Dom F i^i A <-> E. y (x, y e. F /\ x e. A)
18 7, 17 ax_mp 
E. y x, y e. F |` A <-> x e. Dom F i^i A
19 3, 18 ax_mp 
x e. Dom (F |` A) <-> x e. Dom F i^i A
20 19 eqri 
Dom (F |` A) == Dom F i^i A

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)