Theorem rnres ≪ | index | src | ≫

theorem rnres (A F: set): $ Ran (F |` A) == F '' A $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitr	(a2, a1 e. F \|` A <-> a2, a1 e. F /\ a2 e. A) -> (a2, a1 e. F /\ a2 e. A <-> a2 e. A /\ a2, a1 e. F) -> (a2, a1 e. F \|` A <-> a2 e. A /\ a2, a1 e. F)
2		prelres	a2, a1 e. F \|` A <-> a2, a1 e. F /\ a2 e. A
3	1, 2	ax_mp	(a2, a1 e. F /\ a2 e. A <-> a2 e. A /\ a2, a1 e. F) -> (a2, a1 e. F \|` A <-> a2 e. A /\ a2, a1 e. F)
4		ancomb	a2, a1 e. F /\ a2 e. A <-> a2 e. A /\ a2, a1 e. F
5	3, 4	ax_mp	a2, a1 e. F \|` A <-> a2 e. A /\ a2, a1 e. F
6	5	exeqi	E. a2 a2, a1 e. F \|` A <-> E. a2 (a2 e. A /\ a2, a1 e. F)
7	6	abeqi	{a1 \| E. a2 a2, a1 e. F \|` A} == {a1 \| E. a2 (a2 e. A /\ a2, a1 e. F)}
8	7	conv Im, Ran	Ran (F \|` A) == F '' A

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)