Theorem xpundi ≪ | index | src | ≫ 

theorem xpundi (A B C: set): $ Xp (A u. B) C == Xp A C u. Xp B C $;
StepHypRefExpression
1 bitr 
(p e. Xp (A u. B) C <-> fst p e. A u. B /\ snd p e. C) ->
  (fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> p e. Xp A C u. Xp B C) ->
  (p e. Xp (A u. B) C <-> p e. Xp A C u. Xp B C)
2 elxp 
p e. Xp (A u. B) C <-> fst p e. A u. B /\ snd p e. C
3 1, 2 ax_mp 
(fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> p e. Xp A C u. Xp B C) -> (p e. Xp (A u. B) C <-> p e. Xp A C u. Xp B C)
4 bitr4 
(fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C) ->
  (p e. Xp A C u. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C) ->
  (fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> p e. Xp A C u. Xp B C)
5 elun 
fst p e. A u. B <-> fst p e. A \/ fst p e. B
6 5 aneq1i 
fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C
7 4, 6 ax_mp 
(p e. Xp A C u. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C) -> (fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> p e. Xp A C u. Xp B C)
8 bitr 
(p e. Xp A C u. Xp B C <-> p e. Xp A C \/ p e. Xp B C) ->
  (p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C) ->
  (p e. Xp A C u. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C)
9 elun 
p e. Xp A C u. Xp B C <-> p e. Xp A C \/ p e. Xp B C
10 8, 9 ax_mp 
(p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C) -> (p e. Xp A C u. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C)
11 bitr4 
(p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C) ->
  ((fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C) ->
  (p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C)
12 oreq 
(p e. Xp A C <-> fst p e. A /\ snd p e. C) ->
  (p e. Xp B C <-> fst p e. B /\ snd p e. C) ->
  (p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C)
13 elxp 
p e. Xp A C <-> fst p e. A /\ snd p e. C
14 12, 13 ax_mp 
(p e. Xp B C <-> fst p e. B /\ snd p e. C) -> (p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C)
15 elxp 
p e. Xp B C <-> fst p e. B /\ snd p e. C
16 14, 15 ax_mp 
p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C
17 11, 16 ax_mp 
((fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C) ->
  (p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C)
18 andir 
(fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C <-> fst p e. A /\ snd p e. C \/ fst p e. B /\ snd p e. C
19 17, 18 ax_mp 
p e. Xp A C \/ p e. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C
20 10, 19 ax_mp 
p e. Xp A C u. Xp B C <-> (fst p e. A \/ fst p e. B) /\ snd p e. C
21 7, 20 ax_mp 
fst p e. A u. B /\ snd p e. C <-> p e. Xp A C u. Xp B C
22 3, 21 ax_mp 
p e. Xp (A u. B) C <-> p e. Xp A C u. Xp B C
23 22 eqri 
Xp (A u. B) C == Xp A C u. Xp B C

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)