Theorem xabeq2da ≪ | index | src | ≫ 

theorem xabeq2da (A: set) (G: wff) {x: nat} (B C: set x):
  $ G /\ x e. A -> B == C $ >
  $ G -> X\ x e. A, B == X\ x e. A, C $;
StepHypRefExpression
1 aneq2a 
(fst z e. A -> (snd z e. S[fst z / x] B <-> snd z e. S[fst z / x] C)) -> (fst z e. A /\ snd z e. S[fst z / x] B <-> fst z e. A /\ snd z e. S[fst z / x] C)
2 eleq2 
S[fst z / x] B == S[fst z / x] C -> (snd z e. S[fst z / x] B <-> snd z e. S[fst z / x] C)
3 nfv 
F/ x fst z e. A
4 nfsbs1 
FS/ x S[fst z / x] B
5 nfsbs1 
FS/ x S[fst z / x] C
6 4, 5 nfeqs 
F/ x S[fst z / x] B == S[fst z / x] C
7 3, 6 nfim 
F/ x fst z e. A -> S[fst z / x] B == S[fst z / x] C
8 eleq1 
x = fst z -> (x e. A <-> fst z e. A)
9 sbsq 
x = fst z -> B == S[fst z / x] B
10 sbsq 
x = fst z -> C == S[fst z / x] C
11 9, 10 eqseqd 
x = fst z -> (B == C <-> S[fst z / x] B == S[fst z / x] C)
12 8, 11 imeqd 
x = fst z -> (x e. A -> B == C <-> fst z e. A -> S[fst z / x] B == S[fst z / x] C)
13 7, 12 ealeh 
A. x (x e. A -> B == C) -> fst z e. A -> S[fst z / x] B == S[fst z / x] C
14 hyp h 
G /\ x e. A -> B == C
15 14 ialda 
G -> A. x (x e. A -> B == C)
16 13, 15 syl 
G -> fst z e. A -> S[fst z / x] B == S[fst z / x] C
17 2, 16 syl6 
G -> fst z e. A -> (snd z e. S[fst z / x] B <-> snd z e. S[fst z / x] C)
18 1, 17 syl 
G -> (fst z e. A /\ snd z e. S[fst z / x] B <-> fst z e. A /\ snd z e. S[fst z / x] C)
19 18 abeqd 
G -> {z | fst z e. A /\ snd z e. S[fst z / x] B} == {z | fst z e. A /\ snd z e. S[fst z / x] C}
20 19 conv xab 
G -> X\ x e. A, B == X\ x e. A, C

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8)