theorem ex201 (R: set) (l: nat): $ ~0, l e. ex2 R $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
elex22 |
0, l e. ex2 R <-> len 0 = len l /\ E. a2 E. a3 (nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) |
| 2 |
|
anr |
len 0 = len l /\ E. a2 E. a3 (nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) ->
E. a2 E. a3 (nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) |
| 3 |
1, 2 |
sylbi |
0, l e. ex2 R -> E. a2 E. a3 (nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) |
| 4 |
|
sucne0 |
nth a2 0 = suc a3 -> nth a2 0 != 0 |
| 5 |
4 |
conv ne |
nth a2 0 = suc a3 -> ~nth a2 0 = 0 |
| 6 |
5 |
anwl |
nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R) -> ~nth a2 0 = 0 |
| 7 |
|
nth0 |
nth a2 0 = 0 |
| 8 |
6, 7 |
mt2 |
~(nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) |
| 9 |
8 |
nexi |
~E. a3 (nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) |
| 10 |
9 |
nexi |
~E. a2 E. a3 (nth a2 0 = suc a3 /\ E. a1 (nth a2 l = suc a1 /\ a3, a1 e. R)) |
| 11 |
3, 10 |
mt |
~0, l e. ex2 R |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)