Theorem coeqd ≪ | index | src | ≫

theorem coeqd (_G: wff) (_F1 _F2 _G1 _G2: set):
  $ _G -> _F1 == _F2 $ >
  $ _G -> _G1 == _G2 $ >
  $ _G -> _F1 o> _G1 == _F2 o> _G2 $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd	_G -> x, y = x, y
2		hyp _Fh	_G -> _F1 == _F2
3	1, 2	eleqd	_G -> (x, y e. _F1 <-> x, y e. _F2)
4		eqidd	_G -> y, z = y, z
5		hyp _Gh	_G -> _G1 == _G2
6	4, 5	eleqd	_G -> (y, z e. _G1 <-> y, z e. _G2)
7	3, 6	aneqd	_G -> (x, y e. _F1 /\ y, z e. _G1 <-> x, y e. _F2 /\ y, z e. _G2)
8	7	exeqd	_G -> (E. y (x, y e. _F1 /\ y, z e. _G1) <-> E. y (x, y e. _F2 /\ y, z e. _G2))
9	8	abeqd	_G -> {z \| E. y (x, y e. _F1 /\ y, z e. _G1)} == {z \| E. y (x, y e. _F2 /\ y, z e. _G2)}
10	9	sabeqd	_G -> S\ x, {z \| E. y (x, y e. _F1 /\ y, z e. _G1)} == S\ x, {z \| E. y (x, y e. _F2 /\ y, z e. _G2)}
11	10	conv comp	_G -> _F1 o> _G1 == _F2 o> _G2

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8)