theorem appendArray (A: set) (a b m n: nat):
$ a e. Array A m -> b e. Array A n -> a ++ b e. Array A (m + n) $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
aneq |
(a e. Array A m <-> a e. List A /\ len a = m) ->
(b e. Array A n <-> b e. List A /\ len b = n) ->
(a e. Array A m /\ b e. Array A n <-> a e. List A /\ len a = m /\ (b e. List A /\ len b = n)) |
| 2 |
|
elArray |
a e. Array A m <-> a e. List A /\ len a = m |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(b e. Array A n <-> b e. List A /\ len b = n) -> (a e. Array A m /\ b e. Array A n <-> a e. List A /\ len a = m /\ (b e. List A /\ len b = n)) |
| 4 |
|
elArray |
b e. Array A n <-> b e. List A /\ len b = n |
| 5 |
3, 4 |
ax_mp |
a e. Array A m /\ b e. Array A n <-> a e. List A /\ len a = m /\ (b e. List A /\ len b = n) |
| 6 |
|
an4 |
a e. List A /\ len a = m /\ (b e. List A /\ len b = n) <-> a e. List A /\ b e. List A /\ (len a = m /\ len b = n) |
| 7 |
|
elArray |
a ++ b e. Array A (m + n) <-> a ++ b e. List A /\ len (a ++ b) = m + n |
| 8 |
|
anim |
(a e. List A /\ b e. List A -> a ++ b e. List A) ->
(len a = m /\ len b = n -> len (a ++ b) = m + n) ->
a e. List A /\ b e. List A /\ (len a = m /\ len b = n) ->
a ++ b e. List A /\ len (a ++ b) = m + n |
| 9 |
|
bi2 |
(a ++ b e. List A <-> a e. List A /\ b e. List A) -> a e. List A /\ b e. List A -> a ++ b e. List A |
| 10 |
|
appendT |
a ++ b e. List A <-> a e. List A /\ b e. List A |
| 11 |
9, 10 |
ax_mp |
a e. List A /\ b e. List A -> a ++ b e. List A |
| 12 |
8, 11 |
ax_mp |
(len a = m /\ len b = n -> len (a ++ b) = m + n) -> a e. List A /\ b e. List A /\ (len a = m /\ len b = n) -> a ++ b e. List A /\ len (a ++ b) = m + n |
| 13 |
|
appendlen |
len (a ++ b) = len a + len b |
| 14 |
|
addeq |
len a = m -> len b = n -> len a + len b = m + n |
| 15 |
14 |
imp |
len a = m /\ len b = n -> len a + len b = m + n |
| 16 |
13, 15 |
syl5eq |
len a = m /\ len b = n -> len (a ++ b) = m + n |
| 17 |
12, 16 |
ax_mp |
a e. List A /\ b e. List A /\ (len a = m /\ len b = n) -> a ++ b e. List A /\ len (a ++ b) = m + n |
| 18 |
7, 17 |
sylibr |
a e. List A /\ b e. List A /\ (len a = m /\ len b = n) -> a ++ b e. Array A (m + n) |
| 19 |
6, 18 |
sylbi |
a e. List A /\ len a = m /\ (b e. List A /\ len b = n) -> a ++ b e. Array A (m + n) |
| 20 |
5, 19 |
sylbi |
a e. Array A m /\ b e. Array A n -> a ++ b e. Array A (m + n) |
| 21 |
20 |
exp |
a e. Array A m -> b e. Array A n -> a ++ b e. Array A (m + n) |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)