Theorem all2eqg ≪ | index | src | ≫ 

theorem all2eqg (R S: set) (l1 l2: nat) {x y: nat}:
  $ A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) ->
    (l1, l2 e. all2 R <-> l1, l2 e. all2 S) $;
StepHypRefExpression
1 all2ssg 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. R -> x, y e. S) -> l1, l2 e. all2 R -> l1, l2 e. all2 S
2 bi1 
(x, y e. R <-> x, y e. S) -> x, y e. R -> x, y e. S
3 2 imim2i 
(x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. R -> x, y e. S
4 3 alimi 
A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. R -> x, y e. S)
5 4 alimi 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. R -> x, y e. S)
6 1, 5 syl 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> l1, l2 e. all2 R -> l1, l2 e. all2 S
7 all2ssg 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. S -> x, y e. R) -> l1, l2 e. all2 S -> l1, l2 e. all2 R
8 bi2 
(x, y e. R <-> x, y e. S) -> x, y e. S -> x, y e. R
9 8 imim2i 
(x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. S -> x, y e. R
10 9 alimi 
A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. S -> x, y e. R)
11 10 alimi 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> x, y e. S -> x, y e. R)
12 7, 11 syl 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> l1, l2 e. all2 S -> l1, l2 e. all2 R
13 6, 12 ibid 
A. x A. y (x IN l1 /\ y IN l2 -> (x, y e. R <-> x, y e. S)) -> (l1, l2 e. all2 R <-> l1, l2 e. all2 S)

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)