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theorem all2com (R: set) (l1 l2: nat):
  $ l1, l2 e. all2 (cnv R) <-> l2, l1 e. all2 R $;
StepHypRefExpression
1 bitr4 
(l1, l2 e. all2 (cnv R) <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R))) ->
  (l2, l1 e. all2 R <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R))) ->
  (l1, l2 e. all2 (cnv R) <-> l2, l1 e. all2 R)
2 elall22 
l1, l2 e. all2 (cnv R) <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R))
3 1, 2 ax_mp 
(l2, l1 e. all2 R <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R))) ->
  (l1, l2 e. all2 (cnv R) <-> l2, l1 e. all2 R)
4 bitr4 
(l2, l1 e. all2 R <-> len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
    len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (l2, l1 e. all2 R <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)))
5 elall22 
l2, l1 e. all2 R <-> len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))
6 4, 5 ax_mp 
(len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
    len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (l2, l1 e. all2 R <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)))
7 aneq 
(len l1 = len l2 <-> len l2 = len l1) ->
  (A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
    A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
    len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R)))
8 eqcomb 
len l1 = len l2 <-> len l2 = len l1
9 7, 8 ax_mp 
(A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
    A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
    len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R)))
10 bitr 
(A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a3, a2 e. cnv R))) ->
  (A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R)))
11 ralcomb 
A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a3, a2 e. cnv R))
12 10, 11 ax_mp 
(A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))) ->
  (A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R)))
13 prcnv 
a3, a2 e. cnv R <-> a2, a3 e. R
14 13 raleqi 
A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a3, a2 e. cnv R) <-> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
15 14 raleqi 
A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))
16 12, 15 ax_mp 
A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <-> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))
17 16 aleqi 
A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
  A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))
18 9, 17 ax_mp 
len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R)) <->
  len l2 = len l1 /\ A. a1 A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> a2, a3 e. R))
19 6, 18 ax_mp 
l2, l1 e. all2 R <-> len l1 = len l2 /\ A. a1 A. a3 (nth a1 l1 = suc a3 -> A. a2 (nth a1 l2 = suc a2 -> a3, a2 e. cnv R))
20 3, 19 ax_mp 
l1, l2 e. all2 (cnv R) <-> l2, l1 e. all2 R

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)