Theorem xabeqd | index | src |

theorem xabeqd (_G: wff) {x: nat} (_A1 _A2 _B1 _B2: set x):
  $ _G -> _A1 == _A2 $ >
  $ _G -> _B1 == _B2 $ >
  $ _G -> X\ x e. _A1, _B1 == X\ x e. _A2, _B2 $;
StepHypRefExpression
1 eqidd
_G -> fst z = fst z
2 hyp _Ah
_G -> _A1 == _A2
3 1, 2 eleqd
_G -> (fst z e. _A1 <-> fst z e. _A2)
4 eqidd
_G -> snd z = snd z
5 hyp _Bh
_G -> _B1 == _B2
6 1, 5 sbseqd
_G -> S[fst z / x] _B1 == S[fst z / x] _B2
7 4, 6 eleqd
_G -> (snd z e. S[fst z / x] _B1 <-> snd z e. S[fst z / x] _B2)
8 3, 7 aneqd
_G -> (fst z e. _A1 /\ snd z e. S[fst z / x] _B1 <-> fst z e. _A2 /\ snd z e. S[fst z / x] _B2)
9 8 abeqd
_G -> {z | fst z e. _A1 /\ snd z e. S[fst z / x] _B1} == {z | fst z e. _A2 /\ snd z e. S[fst z / x] _B2}
10 9 conv xab
_G -> X\ x e. _A1, _B1 == X\ x e. _A2, _B2

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8)