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theorem undi (A B C: set): $ A u. B i^i C == (A u. B) i^i (A u. C) $;
StepHypRefExpression
1 bitr4 
(x e. A u. B i^i C <-> x e. A \/ x e. B i^i C) -> (x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A \/ x e. B i^i C) -> (x e. A u. B i^i C <-> x e. (A u. B) i^i (A u. C))
2 elun 
x e. A u. B i^i C <-> x e. A \/ x e. B i^i C
3 1, 2 ax_mp 
(x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A \/ x e. B i^i C) -> (x e. A u. B i^i C <-> x e. (A u. B) i^i (A u. C))
4 bitr4 
(x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C) ->
  (x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C) ->
  (x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A \/ x e. B i^i C)
5 elin 
x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C
6 4, 5 ax_mp 
(x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C) -> (x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A \/ x e. B i^i C)
7 bitr4 
(x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C) ->
  (x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C) ->
  (x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C)
8 elin 
x e. B i^i C <-> x e. B /\ x e. C
9 8 oreq2i 
x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C
10 7, 9 ax_mp 
(x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C) -> (x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C)
11 bitr4 
(x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C)) ->
  (x e. A \/ x e. B /\ x e. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C)) ->
  (x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C)
12 aneq 
(x e. A u. B <-> x e. A \/ x e. B) -> (x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. C) -> (x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C))
13 elun 
x e. A u. B <-> x e. A \/ x e. B
14 12, 13 ax_mp 
(x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. C) -> (x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C))
15 elun 
x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. C
16 14, 15 ax_mp 
x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C)
17 11, 16 ax_mp 
(x e. A \/ x e. B /\ x e. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C)) -> (x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C)
18 ordi 
x e. A \/ x e. B /\ x e. C <-> (x e. A \/ x e. B) /\ (x e. A \/ x e. C)
19 17, 18 ax_mp 
x e. A u. B /\ x e. A u. C <-> x e. A \/ x e. B /\ x e. C
20 10, 19 ax_mp 
x e. A \/ x e. B i^i C <-> x e. A u. B /\ x e. A u. C
21 6, 20 ax_mp 
x e. (A u. B) i^i (A u. C) <-> x e. A \/ x e. B i^i C
22 3, 21 ax_mp 
x e. A u. B i^i C <-> x e. (A u. B) i^i (A u. C)
23 22 eqri 
A u. B i^i C == (A u. B) i^i (A u. C)

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8)