theorem undir (A B C: set): $ A i^i B u. C == (A u. C) i^i (B u. C) $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
eqstr4 |
A i^i B u. C == C u. A i^i B -> (A u. C) i^i (B u. C) == C u. A i^i B -> A i^i B u. C == (A u. C) i^i (B u. C) |
| 2 |
|
uncom |
A i^i B u. C == C u. A i^i B |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(A u. C) i^i (B u. C) == C u. A i^i B -> A i^i B u. C == (A u. C) i^i (B u. C) |
| 4 |
|
eqstr4 |
(A u. C) i^i (B u. C) == (C u. A) i^i (C u. B) -> C u. A i^i B == (C u. A) i^i (C u. B) -> (A u. C) i^i (B u. C) == C u. A i^i B |
| 5 |
|
ineq |
A u. C == C u. A -> B u. C == C u. B -> (A u. C) i^i (B u. C) == (C u. A) i^i (C u. B) |
| 6 |
|
uncom |
A u. C == C u. A |
| 7 |
5, 6 |
ax_mp |
B u. C == C u. B -> (A u. C) i^i (B u. C) == (C u. A) i^i (C u. B) |
| 8 |
|
uncom |
B u. C == C u. B |
| 9 |
7, 8 |
ax_mp |
(A u. C) i^i (B u. C) == (C u. A) i^i (C u. B) |
| 10 |
4, 9 |
ax_mp |
C u. A i^i B == (C u. A) i^i (C u. B) -> (A u. C) i^i (B u. C) == C u. A i^i B |
| 11 |
|
undi |
C u. A i^i B == (C u. A) i^i (C u. B) |
| 12 |
10, 11 |
ax_mp |
(A u. C) i^i (B u. C) == C u. A i^i B |
| 13 |
3, 12 |
ax_mp |
A i^i B u. C == (A u. C) i^i (B u. C) |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8)