Theorem subsnthe ≪ | index | src | ≫ 

theorem subsnthe (A: set) (a: nat): $ subsn A -> a e. A -> the A = a $;
StepHypRefExpression
1 anll 
subsn A /\ a e. A /\ a1 e. A -> subsn A
2 anr 
subsn A /\ a e. A /\ a1 e. A -> a1 e. A
3 anlr 
subsn A /\ a e. A /\ a1 e. A -> a e. A
4 1, 2, 3 subsni 
subsn A /\ a e. A /\ a1 e. A -> a1 = a
5 anr 
subsn A /\ a e. A /\ a1 = a -> a1 = a
6 5 eleq1d 
subsn A /\ a e. A /\ a1 = a -> (a1 e. A <-> a e. A)
7 anlr 
subsn A /\ a e. A /\ a1 = a -> a e. A
8 6, 7 mpbird 
subsn A /\ a e. A /\ a1 = a -> a1 e. A
9 4, 8 ibida 
subsn A /\ a e. A -> (a1 e. A <-> a1 = a)
10 9 eqthed 
subsn A /\ a e. A -> the A = a
11 10 exp 
subsn A -> a e. A -> the A = a

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid)