theorem subsnsssn (A: set) {a: nat}: $ subsn A <-> E. a A C_ sn a $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr4 |
(subsn A <-> E. a A. a1 (a1 e. A -> a1 = a)) -> (E. a A C_ sn a <-> E. a A. a1 (a1 e. A -> a1 = a)) -> (subsn A <-> E. a A C_ sn a) |
| 2 |
|
subsnex |
subsn A <-> E. a A. a1 (a1 e. A -> a1 = a) |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(E. a A C_ sn a <-> E. a A. a1 (a1 e. A -> a1 = a)) -> (subsn A <-> E. a A C_ sn a) |
| 4 |
|
elsn |
a1 e. sn a <-> a1 = a |
| 5 |
4 |
imeq2i |
a1 e. A -> a1 e. sn a <-> a1 e. A -> a1 = a |
| 6 |
5 |
aleqi |
A. a1 (a1 e. A -> a1 e. sn a) <-> A. a1 (a1 e. A -> a1 = a) |
| 7 |
6 |
conv subset |
A C_ sn a <-> A. a1 (a1 e. A -> a1 = a) |
| 8 |
7 |
exeqi |
E. a A C_ sn a <-> E. a A. a1 (a1 e. A -> a1 = a) |
| 9 |
3, 8 |
ax_mp |
subsn A <-> E. a A C_ sn a |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)