Step | Hyp | Ref | Expression |
1 |
|
bitr |
(A C_ B <-> A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) ->
(A C_ B <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) |
2 |
|
bitr3 |
(E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> p e. A -> p e. B) ->
(E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) |
3 |
|
biim1 |
E. x E. y p = x, y -> (E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> p e. A -> p e. B) |
4 |
|
expr |
E. x E. y p = x, y |
5 |
3, 4 |
ax_mp |
E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> p e. A -> p e. B |
6 |
2, 5 |
ax_mp |
(E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) -> (p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) |
7 |
|
bitr |
(E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x (E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(A. x (E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) |
8 |
|
eexb |
E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x (E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
9 |
7, 8 |
ax_mp |
(A. x (E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) |
10 |
|
eexb |
E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
11 |
10 |
aleqi |
A. x (E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
12 |
9, 11 |
ax_mp |
E. x E. y p = x, y -> p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
13 |
6, 12 |
ax_mp |
p e. A -> p e. B <-> A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
14 |
13 |
aleqi |
A. p (p e. A -> p e. B) <-> A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
15 |
14 |
conv subset |
A C_ B <-> A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
16 |
1, 15 |
ax_mp |
(A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) -> (A C_ B <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) |
17 |
|
bitr |
(A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(A. x A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) ->
(A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) |
18 |
|
alcomb |
A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
19 |
17, 18 |
ax_mp |
(A. x A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) ->
(A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) |
20 |
|
bitr |
(A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y A. p (p = x, y -> p e. A -> p e. B)) ->
(A. y A. p (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) ->
(A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) |
21 |
|
alcomb |
A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y A. p (p = x, y -> p e. A -> p e. B) |
22 |
20, 21 |
ax_mp |
(A. y A. p (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) -> (A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y (x, y e. A -> x, y e. B)) |
23 |
|
eleq1 |
p = x, y -> (p e. A <-> x, y e. A) |
24 |
|
eleq1 |
p = x, y -> (p e. B <-> x, y e. B) |
25 |
23, 24 |
imeqd |
p = x, y -> (p e. A -> p e. B <-> x, y e. A -> x, y e. B) |
26 |
25 |
aleqe |
A. p (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> x, y e. A -> x, y e. B |
27 |
26 |
aleqi |
A. y A. p (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y (x, y e. A -> x, y e. B) |
28 |
22, 27 |
ax_mp |
A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. y (x, y e. A -> x, y e. B) |
29 |
28 |
aleqi |
A. x A. p A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B) |
30 |
19, 29 |
ax_mp |
A. p A. x A. y (p = x, y -> p e. A -> p e. B) <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B) |
31 |
16, 30 |
ax_mp |
A C_ B <-> A. x A. y (x, y e. A -> x, y e. B) |