Theorem rnsn ≪ | index | src | ≫ 

theorem rnsn (x y: nat): $ Ran (sn (x, y)) == sn y $;
StepHypRefExpression
1 bitr 
(a1 e. Ran (sn (x, y)) <-> E. a2 a2, a1 e. sn (x, y)) -> (E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> a1 e. sn y) -> (a1 e. Ran (sn (x, y)) <-> a1 e. sn y)
2 elrn 
a1 e. Ran (sn (x, y)) <-> E. a2 a2, a1 e. sn (x, y)
3 1, 2 ax_mp 
(E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> a1 e. sn y) -> (a1 e. Ran (sn (x, y)) <-> a1 e. sn y)
4 bitr4 
(E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y)) -> (a1 e. sn y <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y)) -> (E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> a1 e. sn y)
5 bitr 
(a2, a1 e. sn (x, y) <-> a2, a1 = x, y) -> (a2, a1 = x, y <-> a2 = x /\ a1 = y) -> (a2, a1 e. sn (x, y) <-> a2 = x /\ a1 = y)
6 elsn 
a2, a1 e. sn (x, y) <-> a2, a1 = x, y
7 5, 6 ax_mp 
(a2, a1 = x, y <-> a2 = x /\ a1 = y) -> (a2, a1 e. sn (x, y) <-> a2 = x /\ a1 = y)
8 prth 
a2, a1 = x, y <-> a2 = x /\ a1 = y
9 7, 8 ax_mp 
a2, a1 e. sn (x, y) <-> a2 = x /\ a1 = y
10 9 exeqi 
E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y)
11 4, 10 ax_mp 
(a1 e. sn y <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y)) -> (E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> a1 e. sn y)
12 bitr4 
(a1 e. sn y <-> a1 = y) -> (E. a2 (a2 = x /\ a1 = y) <-> a1 = y) -> (a1 e. sn y <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y))
13 elsn 
a1 e. sn y <-> a1 = y
14 12, 13 ax_mp 
(E. a2 (a2 = x /\ a1 = y) <-> a1 = y) -> (a1 e. sn y <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y))
15 biidd 
a2 = x -> (a1 = y <-> a1 = y)
16 15 exeqe 
E. a2 (a2 = x /\ a1 = y) <-> a1 = y
17 14, 16 ax_mp 
a1 e. sn y <-> E. a2 (a2 = x /\ a1 = y)
18 11, 17 ax_mp 
E. a2 a2, a1 e. sn (x, y) <-> a1 e. sn y
19 3, 18 ax_mp 
a1 e. Ran (sn (x, y)) <-> a1 e. sn y
20 19 ax_gen 
A. a1 (a1 e. Ran (sn (x, y)) <-> a1 e. sn y)
21 20 conv eqs 
Ran (sn (x, y)) == sn y

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)