Theorem grecaux1S ≪ | index | src | ≫ 

theorem grecaux1S (K: set) (k n x: nat):
  $ grecaux1 K x k (suc n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n) $;
StepHypRefExpression
1 eqtr 
grecaux1 K x k (suc n) = (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) n) ->
  (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n) ->
  grecaux1 K x k (suc n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)
2 recnS 
recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) (suc n) = (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) n)
3 2 conv grecaux1 
grecaux1 K x k (suc n) = (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) n)
4 1, 3 ax_mp 
(\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n) ->
  grecaux1 K x k (suc n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)
5 anl 
a1 = n /\ a2 = grecaux1 K x k n -> a1 = n
6 5 suceqd 
a1 = n /\ a2 = grecaux1 K x k n -> suc a1 = suc n
7 6 subeq2d 
a1 = n /\ a2 = grecaux1 K x k n -> x - suc a1 = x - suc n
8 anr 
a1 = n /\ a2 = grecaux1 K x k n -> a2 = grecaux1 K x k n
9 7, 8 preqd 
a1 = n /\ a2 = grecaux1 K x k n -> x - suc a1, a2 = x - suc n, grecaux1 K x k n
10 9 appeq2d 
a1 = n /\ a2 = grecaux1 K x k n -> K @ (x - suc a1, a2) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)
11 10 applamed 
a1 = n -> (\ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ grecaux1 K x k n = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)
12 11 appslame 
(\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, grecaux1 K x k n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)
13 12 conv grecaux1 
(\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) @ (n, recn k (\\ a1, \ a2, K @ (x - suc a1, a2)) n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)
14 4, 13 ax_mp 
grecaux1 K x k (suc n) = K @ (x - suc n, grecaux1 K x k n)

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)