theorem exor {x: nat} (a b: wff x): $ E. x (a \/ b) <-> E. x a \/ E. x b $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr |
(E. x (a \/ b) <-> ~(A. x ~a /\ A. x ~b)) -> (~(A. x ~a /\ A. x ~b) <-> E. x a \/ E. x b) -> (E. x (a \/ b) <-> E. x a \/ E. x b) |
| 2 |
|
bitr |
(A. x ~(a \/ b) <-> A. x (~a /\ ~b)) -> (A. x (~a /\ ~b) <-> A. x ~a /\ A. x ~b) -> (A. x ~(a \/ b) <-> A. x ~a /\ A. x ~b) |
| 3 |
|
notor |
~(a \/ b) <-> ~a /\ ~b |
| 4 |
3 |
aleqi |
A. x ~(a \/ b) <-> A. x (~a /\ ~b) |
| 5 |
2, 4 |
ax_mp |
(A. x (~a /\ ~b) <-> A. x ~a /\ A. x ~b) -> (A. x ~(a \/ b) <-> A. x ~a /\ A. x ~b) |
| 6 |
|
alan |
A. x (~a /\ ~b) <-> A. x ~a /\ A. x ~b |
| 7 |
5, 6 |
ax_mp |
A. x ~(a \/ b) <-> A. x ~a /\ A. x ~b |
| 8 |
7 |
noteqi |
~A. x ~(a \/ b) <-> ~(A. x ~a /\ A. x ~b) |
| 9 |
8 |
conv ex |
E. x (a \/ b) <-> ~(A. x ~a /\ A. x ~b) |
| 10 |
1, 9 |
ax_mp |
(~(A. x ~a /\ A. x ~b) <-> E. x a \/ E. x b) -> (E. x (a \/ b) <-> E. x a \/ E. x b) |
| 11 |
|
notan |
~(A. x ~a /\ A. x ~b) <-> ~A. x ~a \/ ~A. x ~b |
| 12 |
11 |
conv ex |
~(A. x ~a /\ A. x ~b) <-> E. x a \/ E. x b |
| 13 |
10, 12 |
ax_mp |
E. x (a \/ b) <-> E. x a \/ E. x b |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4)