theorem elArrayS2 (A: set) {a b: nat} (l n: nat):
$ l e. Array A (suc n) <->
E. a E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b) $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr2 |
(E. a E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b) <-> l e. Array A (suc n) /\ E. a E. b l = a : b) ->
(l e. Array A (suc n) /\ E. a E. b l = a : b <-> l e. Array A (suc n)) ->
(l e. Array A (suc n) <-> E. a E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b)) |
| 2 |
|
aneq1a |
(l = a : b -> (a e. A /\ b e. Array A n <-> l e. Array A (suc n))) -> (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b <-> l e. Array A (suc n) /\ l = a : b) |
| 3 |
|
elArrayS |
a : b e. Array A (suc n) <-> a e. A /\ b e. Array A n |
| 4 |
|
eleq1 |
l = a : b -> (l e. Array A (suc n) <-> a : b e. Array A (suc n)) |
| 5 |
3, 4 |
syl6bb |
l = a : b -> (l e. Array A (suc n) <-> a e. A /\ b e. Array A n) |
| 6 |
5 |
bicomd |
l = a : b -> (a e. A /\ b e. Array A n <-> l e. Array A (suc n)) |
| 7 |
2, 6 |
ax_mp |
a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b <-> l e. Array A (suc n) /\ l = a : b |
| 8 |
7 |
bian1exi |
E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b) <-> l e. Array A (suc n) /\ E. b l = a : b |
| 9 |
8 |
bian1exi |
E. a E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b) <-> l e. Array A (suc n) /\ E. a E. b l = a : b |
| 10 |
1, 9 |
ax_mp |
(l e. Array A (suc n) /\ E. a E. b l = a : b <-> l e. Array A (suc n)) -> (l e. Array A (suc n) <-> E. a E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b)) |
| 11 |
|
bian2a |
(l e. Array A (suc n) -> E. a E. b l = a : b) -> (l e. Array A (suc n) /\ E. a E. b l = a : b <-> l e. Array A (suc n)) |
| 12 |
|
excons |
l != 0 <-> E. a E. b l = a : b |
| 13 |
|
elArraySne0 |
l e. Array A (suc n) -> l != 0 |
| 14 |
12, 13 |
sylib |
l e. Array A (suc n) -> E. a E. b l = a : b |
| 15 |
11, 14 |
ax_mp |
l e. Array A (suc n) /\ E. a E. b l = a : b <-> l e. Array A (suc n) |
| 16 |
10, 15 |
ax_mp |
l e. Array A (suc n) <-> E. a E. b (a e. A /\ b e. Array A n /\ l = a : b) |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)