Theorem cplxpv2 ≪ | index | src | ≫

theorem cplxpv2 (A: set): $ Compl (Xp A _V) == Xp (Compl A) _V $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitr	(p e. Compl (Xp A _V) <-> ~p e. Xp A _V) -> (~p e. Xp A _V <-> p e. Xp (Compl A) _V) -> (p e. Compl (Xp A _V) <-> p e. Xp (Compl A) _V)
2		elcpl	p e. Compl (Xp A _V) <-> ~p e. Xp A _V
3	1, 2	ax_mp	(~p e. Xp A _V <-> p e. Xp (Compl A) _V) -> (p e. Compl (Xp A _V) <-> p e. Xp (Compl A) _V)
4		bitr4	(~p e. Xp A _V <-> ~fst p e. A) -> (p e. Xp (Compl A) _V <-> ~fst p e. A) -> (~p e. Xp A _V <-> p e. Xp (Compl A) _V)
5		noteq	(p e. Xp A _V <-> fst p e. A) -> (~p e. Xp A _V <-> ~fst p e. A)
6		bitr	(p e. Xp A _V <-> fst p e. A /\ snd p e. _V) -> (fst p e. A /\ snd p e. _V <-> fst p e. A) -> (p e. Xp A _V <-> fst p e. A)
7		elxp	p e. Xp A _V <-> fst p e. A /\ snd p e. _V
8	6, 7	ax_mp	(fst p e. A /\ snd p e. _V <-> fst p e. A) -> (p e. Xp A _V <-> fst p e. A)
9		bian2	snd p e. _V -> (fst p e. A /\ snd p e. _V <-> fst p e. A)
10		elv	snd p e. _V
11	9, 10	ax_mp	fst p e. A /\ snd p e. _V <-> fst p e. A
12	8, 11	ax_mp	p e. Xp A _V <-> fst p e. A
13	5, 12	ax_mp	~p e. Xp A _V <-> ~fst p e. A
14	4, 13	ax_mp	(p e. Xp (Compl A) _V <-> ~fst p e. A) -> (~p e. Xp A _V <-> p e. Xp (Compl A) _V)
15		bitr	(p e. Xp (Compl A) _V <-> fst p e. Compl A /\ snd p e. _V) -> (fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> ~fst p e. A) -> (p e. Xp (Compl A) _V <-> ~fst p e. A)
16		elxp	p e. Xp (Compl A) _V <-> fst p e. Compl A /\ snd p e. _V
17	15, 16	ax_mp	(fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> ~fst p e. A) -> (p e. Xp (Compl A) _V <-> ~fst p e. A)
18		bitr	(fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> fst p e. Compl A) -> (fst p e. Compl A <-> ~fst p e. A) -> (fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> ~fst p e. A)
19		bian2	snd p e. _V -> (fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> fst p e. Compl A)
20	19, 10	ax_mp	fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> fst p e. Compl A
21	18, 20	ax_mp	(fst p e. Compl A <-> ~fst p e. A) -> (fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> ~fst p e. A)
22		elcpl	fst p e. Compl A <-> ~fst p e. A
23	21, 22	ax_mp	fst p e. Compl A /\ snd p e. _V <-> ~fst p e. A
24	17, 23	ax_mp	p e. Xp (Compl A) _V <-> ~fst p e. A
25	14, 24	ax_mp	~p e. Xp A _V <-> p e. Xp (Compl A) _V
26	3, 25	ax_mp	p e. Compl (Xp A _V) <-> p e. Xp (Compl A) _V
27	26	eqri	Compl (Xp A _V) == Xp (Compl A) _V

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)