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theorem all20 (R: set): $ 0, 0 e. all2 R $;
StepHypRefExpression
1 elall2 
0, 0 e. all2 R <-> len 0 = len 0 /\ A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
2 ian 
len 0 = len 0 ->
  A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R) ->
  len 0 = len 0 /\ A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
3 eqid 
len 0 = len 0
4 2, 3 ax_mp 
A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R) ->
  len 0 = len 0 /\ A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
5 eqcom 
nth a1 0 = suc a2 -> suc a2 = nth a1 0
6 absurd 
~suc a2 = nth a1 0 -> suc a2 = nth a1 0 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R
7 neeq2 
nth a1 0 = 0 -> (suc a2 != nth a1 0 <-> suc a2 != 0)
8 7 conv ne 
nth a1 0 = 0 -> (~suc a2 = nth a1 0 <-> suc a2 != 0)
9 nth0 
nth a1 0 = 0
10 8, 9 ax_mp 
~suc a2 = nth a1 0 <-> suc a2 != 0
11 peano1 
suc a2 != 0
12 10, 11 mpbir 
~suc a2 = nth a1 0
13 6, 12 ax_mp 
suc a2 = nth a1 0 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R
14 5, 13 rsyl 
nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R
15 14 ax_gen 
A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
16 15 ax_gen 
A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
17 16 ax_gen 
A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
18 4, 17 ax_mp 
len 0 = len 0 /\ A. a1 A. a2 A. a3 (nth a1 0 = suc a2 -> nth a1 0 = suc a3 -> a2, a3 e. R)
19 1, 18 mpbir 
0, 0 e. all2 R

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)