Theorem optss ≪ | index | src | ≫ 

theorem optss (A B: set): $ Option A C_ Option B <-> A C_ B $;
StepHypRefExpression
1 optS 
suc a1 e. Option A <-> a1 e. A
2 optS 
suc a1 e. Option B <-> a1 e. B
3 1, 2 imeqi 
suc a1 e. Option A -> suc a1 e. Option B <-> a1 e. A -> a1 e. B
4 ssel 
Option A C_ Option B -> suc a1 e. Option A -> suc a1 e. Option B
5 3, 4 sylib 
Option A C_ Option B -> a1 e. A -> a1 e. B
6 5 iald 
Option A C_ Option B -> A. a1 (a1 e. A -> a1 e. B)
7 6 conv subset 
Option A C_ Option B -> A C_ B
8 elopt 
a2 e. Option A <-> a2 = 0 \/ a2 - 1 e. A
9 elopt 
a2 e. Option B <-> a2 = 0 \/ a2 - 1 e. B
10 8, 9 imeqi 
a2 e. Option A -> a2 e. Option B <-> a2 = 0 \/ a2 - 1 e. A -> a2 = 0 \/ a2 - 1 e. B
11 ssel 
A C_ B -> a2 - 1 e. A -> a2 - 1 e. B
12 11 orim2d 
A C_ B -> a2 = 0 \/ a2 - 1 e. A -> a2 = 0 \/ a2 - 1 e. B
13 10, 12 sylibr 
A C_ B -> a2 e. Option A -> a2 e. Option B
14 13 iald 
A C_ B -> A. a2 (a2 e. Option A -> a2 e. Option B)
15 14 conv subset 
A C_ B -> Option A C_ Option B
16 7, 15 ibii 
Option A C_ Option B <-> A C_ B

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, add0, addS)