Theorem imaeqd ≪ | index | src | ≫

theorem imaeqd (_G: wff) (_F1 _F2 _A1 _A2: set):
  $ _G -> _F1 == _F2 $ >
  $ _G -> _A1 == _A2 $ >
  $ _G -> _F1 '' _A1 == _F2 '' _A2 $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd	_G -> x = x
2		hyp _Ah	_G -> _A1 == _A2
3	1, 2	eleqd	_G -> (x e. _A1 <-> x e. _A2)
4		eqidd	_G -> x, y = x, y
5		hyp _Fh	_G -> _F1 == _F2
6	4, 5	eleqd	_G -> (x, y e. _F1 <-> x, y e. _F2)
7	3, 6	aneqd	_G -> (x e. _A1 /\ x, y e. _F1 <-> x e. _A2 /\ x, y e. _F2)
8	7	exeqd	_G -> (E. x (x e. _A1 /\ x, y e. _F1) <-> E. x (x e. _A2 /\ x, y e. _F2))
9	8	abeqd	_G -> {y \| E. x (x e. _A1 /\ x, y e. _F1)} == {y \| E. x (x e. _A2 /\ x, y e. _F2)}
10	9	conv Im	_G -> _F1 '' _A1 == _F2 '' _A2

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8)