theorem elxab (A C: set) (a b: nat) {x: nat} (B: set x):
$ x = a -> B == C $ >
$ a, b e. X\ x e. A, B <-> a e. A /\ b e. C $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr |
(a, b e. X\ x e. A, B <-> a e. A /\ b e. S[a / x] B) -> (a e. A /\ b e. S[a / x] B <-> a e. A /\ b e. C) -> (a, b e. X\ x e. A, B <-> a e. A /\ b e. C) |
| 2 |
|
elxabs |
a, b e. X\ x e. A, B <-> a e. A /\ b e. S[a / x] B |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(a e. A /\ b e. S[a / x] B <-> a e. A /\ b e. C) -> (a, b e. X\ x e. A, B <-> a e. A /\ b e. C) |
| 4 |
|
eleq2 |
S[a / x] B == C -> (b e. S[a / x] B <-> b e. C) |
| 5 |
|
hyp h |
x = a -> B == C |
| 6 |
5 |
sbse |
S[a / x] B == C |
| 7 |
4, 6 |
ax_mp |
b e. S[a / x] B <-> b e. C |
| 8 |
7 |
aneq2i |
a e. A /\ b e. S[a / x] B <-> a e. A /\ b e. C |
| 9 |
3, 8 |
ax_mp |
a, b e. X\ x e. A, B <-> a e. A /\ b e. C |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)