Theorem elb1S ≪ | index | src | ≫

theorem elb1S (a b: nat): $ suc a e. b1 b <-> a e. b $;

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitr	(suc a e. b1 b <-> suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b) -> (suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> a e. b) -> (suc a e. b1 b <-> a e. b)
2		elb1	suc a e. b1 b <-> suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b
3	1, 2	ax_mp	(suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> a e. b) -> (suc a e. b1 b <-> a e. b)
4		bitr	(suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> suc a - 1 e. b) -> (suc a - 1 e. b <-> a e. b) -> (suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> a e. b)
5		bior1	~suc a = 0 -> (suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> suc a - 1 e. b)
6		peano1	suc a != 0
7	6	conv ne	~suc a = 0
8	5, 7	ax_mp	suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> suc a - 1 e. b
9	4, 8	ax_mp	(suc a - 1 e. b <-> a e. b) -> (suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> a e. b)
10		eleq1	suc a - 1 = a -> (suc a - 1 e. b <-> a e. b)
11		sucsub1	suc a - 1 = a
12	10, 11	ax_mp	suc a - 1 e. b <-> a e. b
13	9, 12	ax_mp	suc a = 0 \/ suc a - 1 e. b <-> a e. b
14	3, 13	ax_mp	suc a e. b1 b <-> a e. b

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)