Theorem sappslams ≪ | index | src | ≫ 

theorem sappslams (a: nat) {x: nat} (A: set x):
  $ (\\ x, A) @@ a == S[a / x] A $;
StepHypRefExpression
1 axext2 
(\\ x, A) @@ a == S[a / x] A <-> A. a1 A. a2 (a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> a1, a2 e. S[a / x] A)
2 bitr 
(a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> (a, a1), a2 e. (\\ x, A)) ->
  ((a, a1), a2 e. (\\ x, A) <-> a1, a2 e. S[a / x] A) ->
  (a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> a1, a2 e. S[a / x] A)
3 prelsapp 
a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> (a, a1), a2 e. (\\ x, A)
4 2, 3 ax_mp 
((a, a1), a2 e. (\\ x, A) <-> a1, a2 e. S[a / x] A) -> (a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> a1, a2 e. S[a / x] A)
5 prelslams 
(a, a1), a2 e. (\\ x, A) <-> a1, a2 e. S[a / x] A
6 4, 5 ax_mp 
a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> a1, a2 e. S[a / x] A
7 6 ax_gen 
A. a2 (a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> a1, a2 e. S[a / x] A)
8 7 ax_gen 
A. a1 A. a2 (a1, a2 e. (\\ x, A) @@ a <-> a1, a2 e. S[a / x] A)
9 1, 8 mpbir 
(\\ x, A) @@ a == S[a / x] A

Axiom use

axs_prop_calc (ax_1, ax_2, ax_3, ax_mp, itru), axs_pred_calc (ax_gen, ax_4, ax_5, ax_6, ax_7, ax_10, ax_11, ax_12), axs_set (elab, ax_8), axs_the (theid, the0), axs_peano (peano1, peano2, peano5, addeq, muleq, add0, addS, mul0, mulS)