theorem preqadd (a b: nat): $ a, b = (a + b, 0) + b $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
eqcom |
(a + b, 0) + b = a, b -> a, b = (a + b, 0) + b |
| 2 |
|
addeq1 |
a + b, 0 = (a + b) * suc (a + b) // 2 -> (a + b, 0) + b = (a + b) * suc (a + b) // 2 + b |
| 3 |
2 |
conv pr |
a + b, 0 = (a + b) * suc (a + b) // 2 -> (a + b, 0) + b = a, b |
| 4 |
|
eqtr |
a + b, 0 = (a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 -> (a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 = (a + b) * suc (a + b) // 2 -> a + b, 0 = (a + b) * suc (a + b) // 2 |
| 5 |
|
add0 |
(a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 + 0 = (a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 |
| 6 |
5 |
conv pr |
a + b, 0 = (a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 |
| 7 |
4, 6 |
ax_mp |
(a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 = (a + b) * suc (a + b) // 2 -> a + b, 0 = (a + b) * suc (a + b) // 2 |
| 8 |
|
diveq1 |
(a + b + 0) * suc (a + b + 0) = (a + b) * suc (a + b) -> (a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 = (a + b) * suc (a + b) // 2 |
| 9 |
|
muleq |
a + b + 0 = a + b -> suc (a + b + 0) = suc (a + b) -> (a + b + 0) * suc (a + b + 0) = (a + b) * suc (a + b) |
| 10 |
|
add0 |
a + b + 0 = a + b |
| 11 |
9, 10 |
ax_mp |
suc (a + b + 0) = suc (a + b) -> (a + b + 0) * suc (a + b + 0) = (a + b) * suc (a + b) |
| 12 |
|
suceq |
a + b + 0 = a + b -> suc (a + b + 0) = suc (a + b) |
| 13 |
12, 10 |
ax_mp |
suc (a + b + 0) = suc (a + b) |
| 14 |
11, 13 |
ax_mp |
(a + b + 0) * suc (a + b + 0) = (a + b) * suc (a + b) |
| 15 |
8, 14 |
ax_mp |
(a + b + 0) * suc (a + b + 0) // 2 = (a + b) * suc (a + b) // 2 |
| 16 |
7, 15 |
ax_mp |
a + b, 0 = (a + b) * suc (a + b) // 2 |
| 17 |
3, 16 |
ax_mp |
(a + b, 0) + b = a, b |
| 18 |
1, 17 |
ax_mp |
a, b = (a + b, 0) + b |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano2,
addeq,
muleq,
add0)