theorem Arrow01 (B: set): $ Arrow 0 B == sn 0 $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
bitr4 |
(a1 e. Arrow 0 B <-> func a1 0 B) -> (a1 e. sn 0 <-> func a1 0 B) -> (a1 e. Arrow 0 B <-> a1 e. sn 0) |
| 2 |
|
elArrow |
a1 e. Arrow 0 B <-> func a1 0 B |
| 3 |
1, 2 |
ax_mp |
(a1 e. sn 0 <-> func a1 0 B) -> (a1 e. Arrow 0 B <-> a1 e. sn 0) |
| 4 |
|
bitr4 |
(a1 e. sn 0 <-> a1 = 0) -> (func a1 0 B <-> a1 = 0) -> (a1 e. sn 0 <-> func a1 0 B) |
| 5 |
|
elsn |
a1 e. sn 0 <-> a1 = 0 |
| 6 |
4, 5 |
ax_mp |
(func a1 0 B <-> a1 = 0) -> (a1 e. sn 0 <-> func a1 0 B) |
| 7 |
|
bitr |
(func a1 0 B <-> a1 == 0) -> (a1 == 0 <-> a1 = 0) -> (func a1 0 B <-> a1 = 0) |
| 8 |
|
func02 |
func a1 0 B <-> a1 == 0 |
| 9 |
7, 8 |
ax_mp |
(a1 == 0 <-> a1 = 0) -> (func a1 0 B <-> a1 = 0) |
| 10 |
|
nsinj |
a1 == 0 <-> a1 = 0 |
| 11 |
9, 10 |
ax_mp |
func a1 0 B <-> a1 = 0 |
| 12 |
6, 11 |
ax_mp |
a1 e. sn 0 <-> func a1 0 B |
| 13 |
3, 12 |
ax_mp |
a1 e. Arrow 0 B <-> a1 e. sn 0 |
| 14 |
13 |
ax_gen |
A. a1 (a1 e. Arrow 0 B <-> a1 e. sn 0) |
| 15 |
14 |
conv eqs |
Arrow 0 B == sn 0 |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)