theorem repeatT (A: set) (a n: nat): $ a e. A -> repeat a n e. List A $;
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|
| 1 |
|
id |
_1 = n -> _1 = n |
| 2 |
1 |
repeateq2d |
_1 = n -> repeat a _1 = repeat a n |
| 3 |
2 |
eleq1d |
_1 = n -> (repeat a _1 e. List A <-> repeat a n e. List A) |
| 4 |
|
id |
_1 = 0 -> _1 = 0 |
| 5 |
4 |
repeateq2d |
_1 = 0 -> repeat a _1 = repeat a 0 |
| 6 |
5 |
eleq1d |
_1 = 0 -> (repeat a _1 e. List A <-> repeat a 0 e. List A) |
| 7 |
|
id |
_1 = a1 -> _1 = a1 |
| 8 |
7 |
repeateq2d |
_1 = a1 -> repeat a _1 = repeat a a1 |
| 9 |
8 |
eleq1d |
_1 = a1 -> (repeat a _1 e. List A <-> repeat a a1 e. List A) |
| 10 |
|
id |
_1 = suc a1 -> _1 = suc a1 |
| 11 |
10 |
repeateq2d |
_1 = suc a1 -> repeat a _1 = repeat a (suc a1) |
| 12 |
11 |
eleq1d |
_1 = suc a1 -> (repeat a _1 e. List A <-> repeat a (suc a1) e. List A) |
| 13 |
|
eleq1 |
repeat a 0 = 0 -> (repeat a 0 e. List A <-> 0 e. List A) |
| 14 |
|
repeat0 |
repeat a 0 = 0 |
| 15 |
13, 14 |
ax_mp |
repeat a 0 e. List A <-> 0 e. List A |
| 16 |
|
elList0 |
0 e. List A |
| 17 |
15, 16 |
mpbir |
repeat a 0 e. List A |
| 18 |
17 |
a1i |
a e. A -> repeat a 0 e. List A |
| 19 |
|
bi2 |
(repeat a (suc a1) e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A) -> a e. A /\ repeat a a1 e. List A -> repeat a (suc a1) e. List A |
| 20 |
|
bitr |
(repeat a (suc a1) e. List A <-> a : repeat a a1 e. List A) ->
(a : repeat a a1 e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A) ->
(repeat a (suc a1) e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A) |
| 21 |
|
eleq1 |
repeat a (suc a1) = a : repeat a a1 -> (repeat a (suc a1) e. List A <-> a : repeat a a1 e. List A) |
| 22 |
|
repeatS |
repeat a (suc a1) = a : repeat a a1 |
| 23 |
21, 22 |
ax_mp |
repeat a (suc a1) e. List A <-> a : repeat a a1 e. List A |
| 24 |
20, 23 |
ax_mp |
(a : repeat a a1 e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A) -> (repeat a (suc a1) e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A) |
| 25 |
|
elListS |
a : repeat a a1 e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A |
| 26 |
24, 25 |
ax_mp |
repeat a (suc a1) e. List A <-> a e. A /\ repeat a a1 e. List A |
| 27 |
19, 26 |
ax_mp |
a e. A /\ repeat a a1 e. List A -> repeat a (suc a1) e. List A |
| 28 |
3, 6, 9, 12, 18, 27 |
indd |
a e. A -> repeat a n e. List A |
Axiom use
axs_prop_calc
(ax_1,
ax_2,
ax_3,
ax_mp,
itru),
axs_pred_calc
(ax_gen,
ax_4,
ax_5,
ax_6,
ax_7,
ax_10,
ax_11,
ax_12),
axs_set
(elab,
ax_8),
axs_the
(theid,
the0),
axs_peano
(peano1,
peano2,
peano5,
addeq,
muleq,
add0,
addS,
mul0,
mulS)